本试题 “已知抛物线y2=4x,焦点为F,△ABC三个顶点均在抛物线上,若,则|FA|+|FB|+|FC|=( )。” 主要考查您对向量的加、减法运算及几何意义
抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
向量加法的定义:
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作,再做向量,则向量叫做与的和,即。
作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”,其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。
向量加法的三角形法则:
已知非零向量a,b,在平面内任意取一点A,作a,,
向量减法的定义:
向量与向量的相反向量的和,叫做向量与向量的差,记作:。
作向量减法有“三角形法则”:设,那么,由减向量和终点指向被减向量和终点。
注意:此处减向量与被减向量的起点相同。
向量减法的作图法:
坐标运算:
已知,则。
向量加减法的运算律:
(1)交换律:;
(2)结合律:
求向量的和的三角形法则的理解:
使用三角形法则特别要注意“首尾相接”,具体做法是把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合,即用同一个字母表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。对于n个向量,仍有 这可以称为向量加法的多边形法则。
作两个向量的和向量,可分四步:
①取点,注意取点的任意性;
②作相等向量,分别作与两个已知向量相等的向量,使它们的起点重合;
③作平行四边形,以两个向量为邻边作平行四边形;
④作和向量,与两个向量有共同起点的对角线作为和向量,共同的起点作为和向量的起点,对角线的另一个端点作为和向量的终点.当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则是一致的;当两个向量共线时,三角形法则同样适用,而平行四边形法则就不适用了.
向量的加法需要说明的几点:
①当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且
②当两个非零向量a与b共线时,
a.向量a与b同向(如下图),即向量a+b与a(或b)方向相同,且
b.向量a与b反向(如上图)且|a|<|b|时,即a+b与b方向相同(与a方向相反),且
综上可知
向量减法的理解:
①定义向量减法是借助了相反向量和向量加法,其实,向量减法的实质是向量加法的逆运算.两个向量的差仍是向量;
②作差向量时,作法一较为复杂,作法二较为简捷,应根据问题的需要灵活运用;
③以为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线表示的向量为这一结论在以后的应用是非常广泛的,应该加强理解并记住;
④对于任意一点O,简记为“中减起”,在解题中经常用到,必须记住.
抛物线的性质(见下表):
抛物线的焦点弦的性质:
关于抛物线的几个重要结论:
(1)弦长公式同椭圆.
(2)对于抛物线y2=2px(p>0),我们有P(x0,y0)在抛物线内部P(x0,y0)在抛物线外部
(3)抛物线y2=2px上的点P(x1,y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+
(4)抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)的切点弦方程是
(5)过抛物线y2=2px上两点 的两条切线交于点M(x0,y0),则
(6)自抛物线外一点P作两条切线,切点为A,B,若焦点为F, 又若切线PA⊥PB,则AB必过抛物线焦点F.
利用抛物线的几何性质解题的方法:
根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质,可以进行求值、图形的判断及有关证明.
抛物线中定点问题的解决方法:
在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识,在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身,与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合,考查综合分析问题的能力,而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点,充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键,在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。
利用焦点弦求值:
利用抛物线及焦半径的定义,结合焦点弦的表示,进行有关的计算或求值。
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