本试题 “给出下列四个结论:①当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P,则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2=y;②已知双曲线的右焦点为(5,0),一...” 主要考查您对双曲线的标准方程及图象
双曲线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
抛物线的标准方程及图象
抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
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双曲线的标准方程:
(1)中心在原点,焦点在x轴上:;
(2)中心在原点,焦点在y轴上:。
双曲线的图像:
(1)焦点在x轴上的双曲线的图像
;
(2)焦点在y轴上的双曲线的图像
。
判断双曲线的焦点在哪个轴上:
判断双曲线的焦点在哪个轴上的方法看未知数前的系数,哪一个为正,焦点就在哪一个轴上.
定义法求双曲线的标准方程:
求动点的轨迹方程时,可利用定义先判断动点的轨迹,再写出方程.平面几何中的定理性质在解决解析几何问题时起着简化运算的作用,一定要注意应用,根据双曲线的定义,到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数的点的轨迹是双曲线,可以求双曲线的标准方程,
待定系数法求双曲线的标准方程:
在求双曲线标准方程时,可先设出其标准方程,再根据双曲线的参数a,b,c,e的取值及相互之间的关系,求出a,b的值,已知双曲线的渐近线方程,求双曲线方程时,可利用共渐近线双曲线系方程,再由其他条件求λ.若焦点不确定时,要注意分类讨论.
利用双曲线的性质求解有关问题:
要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题,应找好题中的等量关系或不等关系,构造出离心率的关系式,这里应和椭圆中a,b,c的关系区分好,即
几种特殊的双曲线:
等轴双曲线 | 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率两条渐近线互相垂直 |
共轭双曲线 |
|
共渐近线的双曲线 |
|
双曲线的离心率的定义:
(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率.
(2)e的范围:e>l.
(3)e的含义:e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.
渐近线与实轴的夹角也增大。
双曲线的性质:
1、焦点在x轴上:顶点:(a,0),(-a,0);焦点:(c,0),(-c,0);
渐近线方程:或。
2、焦点在y轴上:顶点:(0,-a),(0,a);焦点:(0,c),(0,-c);
渐近线方程:或。
3、轴:x、y为对称轴,实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c。
4、离心率;
5、中,取值范围:x≤-a或x≥a,y∈R,对称轴是坐标轴,对称中心是原点。
双曲线的焦半径:
双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径,分别记作
抛物线的标准方程及图像(见下表):
抛物线的标准方程的理解:
①抛物线的标准方程是指抛物线在标准状态下的方程,即顶点在原点,焦点在坐标轴上;
②抛物线的标准方程中的系数p叫做焦参数,它的几何意义是:焦点到准线的距离.焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为
③抛物线的标准方程有四种类型,所以判断其类型是解题的关键,在方程的类型已确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,所以只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程;
④对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,得出其异同点。
共同点:
a.原点在抛物线上;
b.焦点都在坐标轴上;
c.准线与焦点所在轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的
不同点:
a.焦点在x轴上时,方程的右侧为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2;
b.开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
求抛物线的标准方程的常用方法:
(1)定义法求抛物线的标准方程:定义法求曲线方程是经常用的一种方法,关键是理解定义的实质及注意条件,将所给条件转化为定义的条件,当然还应注意特殊情况.
(2)待定系数法求抛物线的标准方程:求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法,为避免开口不确定,分成(p>0)两种情况求解的麻烦,可以设成(m,n≠0),若m、n>0,开口向右或向上;m、n<0,开口向左或向下;m、n有两解,则抛物线的标准方程各有两个。
抛物线的性质(见下表):
抛物线的焦点弦的性质:
关于抛物线的几个重要结论:
(1)弦长公式同椭圆.
(2)对于抛物线y2=2px(p>0),我们有P(x0,y0)在抛物线内部P(x0,y0)在抛物线外部
(3)抛物线y2=2px上的点P(x1,y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+
(4)抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)的切点弦方程是
(5)过抛物线y2=2px上两点 的两条切线交于点M(x0,y0),则
(6)自抛物线外一点P作两条切线,切点为A,B,若焦点为F, 又若切线PA⊥PB,则AB必过抛物线焦点F.
利用抛物线的几何性质解题的方法:
根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质,可以进行求值、图形的判断及有关证明.
抛物线中定点问题的解决方法:
在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识,在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身,与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合,考查综合分析问题的能力,而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点,充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键,在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。
利用焦点弦求值:
利用抛物线及焦半径的定义,结合焦点弦的表示,进行有关的计算或求值。
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