返回

高中数学

首页
首页 高中数学知识 函数零点的判定定理 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 试题正文
  • 解答题
    设an是关于x的方程xn+nx-1=0（n∈N*，x∈（0，+∞））的根．试证明：
    （1）an∈（0，1）；
    （2）an+1＜an；
    （3）a12+a22+…+an2＜1．
    本题信息：数学解答题难度较难 来源:未知
  • 本题答案
    查看答案
本试题 “设an是关于x的方程xn+nx-1=0（n∈N*，x∈（0，+∞））的根．试证明：（1）an∈（0，1）；（2）an+1＜an；（3）a12+a22+…+an2＜1．” 主要考查您对

函数零点的判定定理

数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 函数零点的判定定理
  • 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．
 (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.


函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．


数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。


数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。

 

发现相似题
与“设an是关于x的方程xn+nx-1=0（n∈N*，x∈（0，+∞））的根．试证...”考查相似的试题有：