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    设函数f(x)=(x+a)1nx-x+a,a∈R.
    (Ⅰ)设g(x)=f′(x),求函数g(x)的极值;
    (Ⅱ)若a≥
    1
    e
    ,试研究函数f(x)=(x+a)1nx-x+a的零点个数.
    本题信息:数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “设函数f(x)=(x+a)1nx-x+a,a∈R.(Ⅰ)设g(x)=f′(x),求函数g(x)的极值;(Ⅱ)若a≥1e,试研究函数f(x)=(x+a)1nx-x+a的零点个数.” 主要考查您对

函数的零点与方程根的联系

函数的单调性与导数的关系

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函数零点的定义

一般地,如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零,即f(a)=o,则a叫做这个函数的零点,有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标,也叫做这个函数的零点。               


函数零点具有的性质:

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的,则有:
(1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-1时,函数值由正变为负,在通过第二个零点3时,函数值又由负变为正.
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号,


方程的根与函数的零点的联系

方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点


导数和函数的单调性的关系:

(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。


利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:

①确定f(x)的定义域;
②计算导数f′(x);
③求出f′(x)=0的根;
④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。

函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:

若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。