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首页 高中数学知识 等差数列的前n项和 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 试题正文
  • 解答题
    已知等差数列{an}中，Sn为{an}的前N项和，S3=15，a5=-1
    （1）求{an}的通项an与Sn；
    （2）bn=an+3n-9，求Tn=
    1
    b1b2
    +
    1
    b2b3
    +
    1
    b3b4
    +…+
    1
    bnbn+1
    ．
    本题信息：数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “已知等差数列{an}中，Sn为{an}的前N项和，S3=15，a5=-1（1）求{an}的通项an与Sn；（2）bn=an+3n-9，求Tn=1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1bnbn+1．” 主要考查您对

等差数列的前n项和

数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

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  • 等差数列的前n项和
  • 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

等差数列的前n项和的公式：

（1），（2），（3），（4）
当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。


等差数列的前n项和的有关性质：

（1），…成等差数列；
（2）｛an｝有2k项时，＝kd；
（3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平， S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a平；


解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）；
(2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q＝0，此时公差d＜0。 
 


数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。


数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。

 

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