共面向量定义：

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的。

共面向量定理：

如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数x，y，使。

 推论1：

如图，空间中的一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)使

 

或对空间任一定点O，有 
在平面MAB内，点P对应的实数对(x，y)是唯一的， 式叫做平面MAB的向量表示式。

 

推论2：

 

空间中的一点P与不共线的三个点A，B，C共面的充要条件是存在唯一的有序实数组（x,y,z）使 （其中O为空间任一点）。

 

共面向量定理的延伸：

如果三个不共面的向量满足等式

用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系：

设直线l，m的方向向量为a，b，平面α，β的法向量为u，v，则
（1）线线平行l∥m a∥b a=kb；
（2）线面平行l∥α a⊥u a·u=0；
（3）线面垂直l⊥α a∥u a=ku；
（4）面面平行α∥β u∥v u=kv；
（5）面面垂直α⊥β u⊥v u·v=0。

证明平行的其他方法：

①根据线面平行的判定定理：（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量；
②根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．