返回

高中二年级数学

首页
  • 解答题
    已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1

    (I)求证:AC1⊥平面A1BC;
    (II)求CC1到平面A1AB的距离;
    (III)求二面角A-A1B-C的大小。
    本题信息:2010年0103期末题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
  • 本题答案
    查看答案
本试题 “已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1。(I)求证:AC1⊥平面A1BC;(II)求CC1到平面A1AB的距离;(I...” 主要考查您对

二面角

直线与平面间的距离

直线与平面垂直的判定与性质

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 二面角
  • 直线与平面间的距离
  • 直线与平面垂直的判定与性质

半平面的定义:

一条直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面.

二面角的定义:

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角:

以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是[0,180°]。

 直二面角:

平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角。


二面角的平面角具有下列性质:

a.二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即l⊥平面AOB.
b.从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线,垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
c.二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面AOB⊥α,平面AOB⊥α.


求二面角的方法:

(1)定义法:通过二面角的平面角来求;找出或作出二面角的平面角;证明其符合定义;通过解三角形,计算出二面角的平面角.上述过程可概括为一作(找)、二证、三计算”.
(2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线,用三垂线定理或其逆定理作出平面角.
(3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直.
(4)射影法:利用面积射影定理求二面角的大小;其中S为二面角一个面内平面图形的面积,S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积,α为二面角的大小.
(5)向量法:设二面角的平面角为θ.
①如果那么
②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补,根据具体图形判断。

对二面角定义的理解:

根据这个定义,两个平面相交成4个二面角,其中相对的两个二面角的大小相等,如果这4个二面角中有1个是直二面角,则这4个二面角都是直二面角,这时两个平面互相垂直.按照定义,欲证两个平面互相垂直,或者欲证某个二面角是直二面角,只需证明它的平面角是直角,两个平面相交,如果交成的二面角不是直二面角,那么必有一对锐二面角和一对钝二面角,今后,两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角.并注意两个平面所成的角与二面角的区别. 


直线和平面间的距离:

直线与平面相交时,直线与平面的距离为0;
直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离都相等(直线与平面的距离即为直线上的点到平面的距离)。


求直线与平面的距离的方法:

转化为点到直线的距离,即在直线上选一个合适的点,求这个点到平面的距离。


线面垂直的定义:

如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直,就说这条直线l和这个平面α互相垂直,记作直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足。

线面垂直的画法:

画线面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示:


 


线面垂直的判定定理:

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。(线线垂直线面垂直)

符号表示:

  如图所示,

 线面垂直的性质定理:

如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
(线面垂直线线平行)


线面垂直的判定定理的理解:

(1)判定定理的条件中,“平面内的两条相交直线”是关键性语句,一定要记准.
(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论是错误的.
(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论也错误,因为这无数条直线可能平行.

证明线面垂直的方法:

(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围,线垂直于面,线就垂直于面内所有直线,这也是线面垂直的必备条件,利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化,这样就完成了空间问题与平面问题的转化.
(2)证线面垂直的方法①利用定义:若一直线垂直于平面内任一直线,则这条直线垂直于该平面.②利用线面垂直的判定定理:证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直,③利用线面垂直的性质:两平行线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面,④用面面垂直的性质定理:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.⑤用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平面中的一个,那么它必定垂直于另一个平面.⑥用面面垂直的性质:两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面的交线垂直于第三个平面.⑦利用向量证明.