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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 一般数列的通项公式 等差数列的前n项和 试题正文
  • 解答题
    设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①对任意n∈N*，恒成立；②对任意n∈N*，存在与n无关的常数M，使an≤M恒成立，
    (1)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且a3=4，S3=18，试探究数列{Sn}与集合W之间的关系；
    (2)设数列{bn}的通项公式为bn=5n-2n，且{bn}∈W，求M的取值范围。
    本题信息：2011年河北省期末题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①对任意n∈N*，恒成立；②对任意n∈N*，存在与n无关的常数M，使an≤M恒成立，(1)若{an}是等差数列，Sn是其前n项...” 主要考查您对

一般数列的通项公式

等差数列的前n项和

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  • 一般数列的通项公式
  • 等差数列的前n项和

一般数列的定义：

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么这个公式叫做这个数列的通项公式。


通项公式的求法：

（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；
（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；
（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
已知递推公式求通项常见方法：
①已知a1=a,an+1=qan+b,求an时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使an+1 +λ=q(an+λ)进而得到λ。
②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n≥2),求an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法。
③已知a1=a,an=f(n)an-1(n≥2)，求an时，利用累乘法求解。


等差数列的前n项和的公式：

（1），（2），（3），（4）
当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。


等差数列的前n项和的有关性质：

（1），…成等差数列；
（2）｛an｝有2k项时，＝kd；
（3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平， S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a平；


解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）；
(2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q＝0，此时公差d＜0。 
 


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