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高中三年级数学

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    设不等式所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(x,y)(x,y∈Z)的个数为f(n)(n∈N*).(注:格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点)
    (Ⅰ)求f(1),f(2)的值及f(n)的表达式;
    (Ⅱ)记,若对于任意n∈N*,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围;
    (Ⅲ)设Sn为数列{bn}的前n项和,其中,问是否存在正整数n,t,使成立,若存在,求出正整数n,t;若不存在,请说明理由.
    本题信息:2011年湖南省模拟题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “设不等式所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(x,y)(x,y∈Z)的个数为f(n)(n∈N*).(注:格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点)(Ⅰ)求f(1),f(2)的值及f(n)的表...” 主要考查您对

函数的单调性、最值

等比数列的前n项和

简单线性规划问题(用平面区域表示二元一次不等式组)

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  • 函数的单调性、最值
  • 等比数列的前n项和
  • 简单线性规划问题(用平面区域表示二元一次不等式组)

单调性的定义:

1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间 
 
3、最值的定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值


判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法

(1)定义法:其步骤是:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2)或作商 ,并变形;
③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较 与1的大小;
④根据定义作出结论。
(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。


等比数列的前n项和公式:



等比数列中设元技巧:

已知a1,q,n,an ,Sn中的三个量,求其它两个量,是归结为解方程组问题,知三求二。
注意设元的技巧,如奇数个成等比数列,可设为:…,…(公比为q),但偶数个数成等比数列时,不能设为…,…因公比不一定为一个正数,公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形:
q≠1时,(a≠0,b≠0,a+b=0);

等比数列前n项和常见结论:
一个等比数列有3n项,若前n项之和为S1,中间n项之和为S2,最后n项之和为S3,当q≠-1时,S1,S2,S3为等比数列。


二元一次不等式表示的平面区域:

二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。

线性约束条件:

关于x,y的一次不等式或方程组成的不等式组称为x,y的线性约束条件;

线性目标函数:

关于x、y的一次式欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫做线性目标函数;

线性规划问题

一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。

可行解、可行域和最优解:

满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解;由所有可行解组成的集合称为可行域; 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解。

用一元一次不等式(组)表示平面区域:

(1)一般地,直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分:①直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0;②直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c>0;③直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c<0.所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0,y0),从ax0+by0+c的值的正负,即可判断不等式表示的平面区域,可简称为,特殊点定域”.
(2)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 


线性规划问题求解步骤:

(1)确定目标函数;
(2)作可行域;
(3)作基准线(z=0时的直线);
(4)平移找最优解;
(5)求最值。

线性规划求最值线性规划求最值问题:
(1)要充分理解目标函数的几何意义,诸如直线的截距、两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等.
   (2)求最优解的方法①将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的点为最优解,②利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线,且目标函数的斜率k满足的交点一般为最优解.在求最优解前,令z=0的目的是确定目标函数在可行域的什么位置有可行解,值得注意的是,有些问题中可能要求x,y∈N(即整点),它不一定在边界上.特别地,当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行()时,其最优解可能有无数个,用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键.可先将题目的量分类,列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组),寻求约束条件,并就题目所述找到目标函数.

线性规划的实际应用在线性规划的实际问题中:

主要掌握两种类型:
一、给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;
二、给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.
(l)用图解法解决线性规划问题的一般步骤:①分析并将已知数据列出表格;②确定线性约束条件;③确定线性目标函数;④画出可行域;⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解;⑥实际问题需要整数解时,应适当调整,以确定最优解.
(2)整数规划的求解,可以首先放松可行解必须为整数的要求,转化为线性规划求解,若所求得的最优解恰为整数,则该解即为整数规划的最优解;若所求得的最优解不是整数,则视所得非整数解的具体情况增加条件;若这两个子问题的最优解仍不是整数,再把每个问题继续分成两个子问题求解,……,直到求出整数最优解为止,