本试题 “已知单调递增的等比数列满足:,且是,的等差中项。(1)求数列的通项公式;(2)若,,对任意正整数n,恒成立,试求m的取值范围。” 主要考查您对指数函数的图象与性质
等比数列的通项公式
数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)
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指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质:
0<a<1 | a>1 | ||
图像 | ![]() |
![]() | |
图像 | 定义域 | R | |
值域 | (0,+∞) | ||
恒过定点 | 图像恒过定点(0,1),即当x等于0时,y=1 | ||
单调性 | 在(-∞,+∞)上是减函数 | 在(-∞,+∞)上是增函数 | |
函数值的变化规律 | 当x<0时,y>1 | 当x<0时,0<y<1 | |
当x=0时,y=1 | 当x=0时,y=1 | ||
当x>0时,0<y<1 | 当x>0时,y>1 |
底数对指数函数的影响:
①在同一坐标系内分别作函数的图象,易看出:当a>l时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近y轴;同样地,当0<a<l时,底数越小,函数图象在第一象限越靠近x轴.
②底数对函数值的影响如图.
③当a>0,且a≠l时,函数 与函数y=
的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小:
若底数相同而指数不同,用指数函数的单调性比较:
若底数不同而指数相同,用作商法比较;
若底数、指数均不同,借助中间量,同时要注意结合图象及特殊值,
指数函数图象的应用:
函数的图象是直观地表示函数的一种方法.函数的很多性质,可以从图象上一览无余.数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象.利用指数函数的图象,可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题.
等比数列的通项公式:
an=a1qn-1,q≠0,n∈N*。
等比数列的通项公式的理解:
①在已知a1和q的前提下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项;
②在已知等比数列中任意两项的前提下,使用可求等比数列中任何一项;
③用函数的观点看等比数列的通项,等比数列{an}的通项公式,可以改写为
.当q>o,且q≠1时,y=qx是一个指数函数,而
是一个不为0的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象是函数
的图象上的一群孤立的点;
④通项公式亦可用以下方法推导出来:
将以上(n一1)个等式相乘,便可得到
⑤用方程的观点看通项公式.在an,q,a1,n中,知三求一。
数列求和的常用方法:
1.裂项相加法:数列中的项形如的形式,可以把
表示为
,累加时抵消中间的许多项,从而求得数列的和;
2、错位相减法:源于等比数列前n项和公式的推导,对于形如的数列,其中
为等差数列,
为等比数列,均可用此法;
3、倒序相加法:此方法源于等差数列前n项和公式的推导,目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取,以便化简后求和。
4、分组转化法:把数列的每一项分成两项,或把数列的项“集”在一块重新组合,或把整个数列分成两个部分,使其转化为等差或等比数列,这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和:所给数列的通项是关于n的多项式,此时求和可采用公式求和,常用的公式有:
数列求和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒:
(1)对通项公式含有的一类数列,在求
时,要注意讨论n的奇偶性;
(2)在用等比数列前n项和公式时,一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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