本试题 “已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和.(I)设S3=32,S6=2116,求an;(II)若S4,S10,S7成等差数列,证明a1,a7,a4也成等差数列.” 主要考查您对等差数列的定义及性质
等比数列的前n项和
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等差数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质:
(1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列;
(2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和;
(3)m,n∈N*,则am=an+(m-n)d;
(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则as+at=ap+aq,其中as,at,ap,aq是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有as+at=2ap;
(5)若数列{an},{bn}均是等差数列,则数列{man+kbn}仍为等差数列,其中m,k均为常数。
(6)
(7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即
(8) 仍为等差数列,公差为
对等差数列定义的理解:
①如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或某一项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或某项开始是等差数列.
②求公差d时,因为d是这个数列的后一项与前一项的差,故有 还有
③公差d∈R,当d=0时,数列为常数列(也是等差数列);当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列;
④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据;
⑤证明一个数列是等差数列,只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法:
(1)学会运用函数与方程思想解题;
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键;
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’).
等比数列的前n项和公式:
;
等比数列中设元技巧:
已知a1,q,n,an ,Sn中的三个量,求其它两个量,是归结为解方程组问题,知三求二。
注意设元的技巧,如奇数个成等比数列,可设为:…,…(公比为q),但偶数个数成等比数列时,不能设为…
,…因公比不一定为一个正数,公比为正时可如此设。
等比数列前n项和公式的变形:
q≠1时,(a≠0,b≠0,a+b=0);
等比数列前n项和常见结论:
一个等比数列有3n项,若前n项之和为S1,中间n项之和为S2,最后n项之和为S3,当q≠-1时,S1,S2,S3为等比数列。
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