相等向量的定义：

长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。

共线向量的定义：

方向相同或相反的非零向量，平行于，记作：。
规定零向量和任何向量平行。
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移。

平行向量与相等向量的关系：

(l)平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行．
(2)平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行，记作；相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
(3)借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．(4)平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．

向量共线的理解：

(1)两个非零向量平行的充要条件是这两个向量所在直线平行或重合．
(2)两个平行的非零向量在其方向与模两个要素上可能出现以下四种情况：
①方向相同，长度相同；
②方向相同，长度不同；
③方向相反，长度相同；
④方向相反，长度不同，

两个向量相等的理解：

(1)两个向量的长度相等，这两个向量不一定相等．
(2)两个向量相等，它们的起点和终点不一定相同．
(3)若a=b，b=c，则必有a=c．

向量加法的定义：

已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作，再做向量，则向量叫做与的和，即。
作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”，其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。

向量加法的三角形法则：

已知非零向量a,b，在平面内任意取一点A，作a，，

这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则，如图

 

 

向量加法的平行四边形法则：

 

以同一点O起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图．

  

向量减法的定义：

向量与向量的相反向量的和，叫做向量与向量的差，记作：。
作向量减法有“三角形法则”：设，那么，由减向量和终点指向被减向量和终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

向量减法的作图法：

 

 

  

 因此，a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．

坐标运算：

已知，则。

向量加减法的运算律：

（1）交换律：；
（2）结合律：

求向量的和的三角形法则的理解：

使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一个字母表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。对于n个向量，仍有 这可以称为向量加法的多边形法则。

作两个向量的和向量，可分四步：

①取点，注意取点的任意性；
②作相等向量，分别作与两个已知向量相等的向量，使它们的起点重合；
③作平行四边形，以两个向量为邻边作平行四边形；
④作和向量，与两个向量有共同起点的对角线作为和向量，共同的起点作为和向量的起点，对角线的另一个端点作为和向量的终点．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的；当两个向量共线时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了．

向量的加法需要说明的几点：

①当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a,b的方向都不相同，且
②当两个非零向量a与b共线时，
a．向量a与b同向（如下图），即向量a+b与a(或b）方向相同，且
 
b．向量a与b反向（如上图）且|a|<|b|时，即a+b与b方向相同（与a方向相反），且

综上可知

向量减法的理解：

①定义向量减法是借助了相反向量和向量加法，其实，向量减法的实质是向量加法的逆运算．两个向量的差仍是向量；
②作差向量时，作法一较为复杂，作法二较为简捷，应根据问题的需要灵活运用；
③以为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线表示的向量为这一结论在以后的应用是非常广泛的，应该加强理解并记住；
④对于任意一点O，简记为“中减起”，在解题中经常用到，必须记住．