本试题 “设函数f(x)=5x-6,g (x)=log5f(x)(1)解不等式g(n)[g(1)+g(2)+…+g(n)]<0 (n∈N*);(2)求h(n)=g(n)[g(1)+g(2)+…+g(n)]-132n (n∈N*...” 主要考查您对对数函数的图象与性质
函数的最值与导数的关系
一元高次(二次以上)不等式
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对数函数的图形:
对数函数的图象与性质:
对数函数与指数函数的对比:
(1)对数函数与指数函数互为反函数,它们的定义域、值域互换,图象关于直线y=x对称.
(2)它们都是单调函数,都不具有奇偶性.当a>l时,它们是增函数;当O<a<l时,它们是减函数.
(3)指数函数与对数函数的联系与区别:
对数函数单调性的讨论:
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键:一是看底数是否大于l,当底数未明确给出时,则应对底数a是否大于1进行讨论;二是运用复合法来判断其单调性,但应注意中间变量的取值范围;三要注意其定义域(这是一个隐形陷阱),也就是要坚持“定义域优先”的原则.
利用对数函数的图象解题:
涉及对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象人手,通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象,特别地,要注意底数a>l与O<a<l的两种不同情况,
底数对函数值大小的影响:
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象,如图所示,可以看出:当a>l时,底数越大,图象越靠近x轴,同理,当O<a<l时,底数越小,函数图象越靠近x轴.利用这一规律,我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题.
2.类似地,在同一坐标系中分别作出的图象,如图所示,它们的图象在第一象限的规律是:直线x=l把第一象限分成两个区域,每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小,比如分别对应函数,则必有
函数的最大值和最小值:
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值,分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
利用导数求函数的最值步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值。
用导数的方法求最值特别提醒:
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值,因此,函数极大值和极小值的判别是关键,极值与最值的关系:极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值;
②如果仅仅是求最值,还可将上面的办法化简,因为函数fx在[a,b]内的全部极值,只能在f(x)的导数为零的点或导数不存在的点取得(下称这两种点为可疑点),所以只需要将这些可疑点求出来,然后算出f(x)在可疑点处的函数值,与区间端点处的函数值进行比较,就能求得最大值和最小值;
③当f(x)为连续函数且在[a,b]上单调时,其最大值、最小值在端点处取得。
生活中的优化问题:
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,解决优化问题的方法很多,如:判别式法,均值不等式法,线性规划及利用二次函数的性质等,
不少优化问题可以化为求函数最值问题.导数方法是解这类问题的有效工具.
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题:
(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去;
(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的情形.如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点比较,也可以知道这就是最大(小)值;
(3)在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.
利用导数解决生活中的优化问题:
(1)运用导数解决实际问题,关键是要建立恰当的数学模型(函数关系、方程或不等式),运用导数的知识与方法去解决,主要是转化为求最值问题,最后反馈到实际问题之中.
(2)利用导数求f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤,
①求函数y =f(x)在(a,b)上的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(3)定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该极值点必为最值点.
元高次不等式的概念:
含有一个未知数且未知数的最高次数不小于3的不等式叫做一元高次不等式
一元高次不等式的解法:
①解一元高次不等式时,通常需进行因式分解,化为的形式,然后应用区间法化为不等式组或用数轴标根法求解集.
②用数轴标根法求解一元高次不等式的步骤如下:
a.化简:将原不等式化为和它同解的基本型不等式.其中的n个根,它们两两不等,通常情况下,常以的形式出现, 为相同因式的幂指数,它们均为自然数,可以相等;
b.标根:将标在数轴上,将数轴分成(n+1)个区间;
c.求解:若 ,则从最右边区间的右上方开始画一条连续的曲线,依次穿过每一个零点(的根对应的数轴上的点),穿过最左边的零点后,曲线不再改变方向,向左下或左上的方向无限伸展.这样,不等式的解集就直观、清楚地表示在图上,这种方法叫穿针引线法(或数轴标根法);当 不全为l,即f(x)分解因式出现多重因式(即方程f(x)=0出现重根)时,对于奇次重因式对应的根,仍穿轴而过;对于偶次重因式对应的根,则应使曲线与轴相切.简言之,函数f(x)中有重因式时,曲线与轴的关系是"奇穿偶切".
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