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高中三年级数学

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    已知函数f(x)满足f(x)=x3+f′()x2-x+C [其中f′()为f(x)在点x=处的导数,C为常数]。
    (1)求f′()的值;
    (2)求函数f(x)的单调区间;
    (3)设函数g(x)=[f(x)-x3]ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调,求实数C的取值范围。
    本题信息:2011年浙江省模拟题数学解答题难度极难 来源:刘佩
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本试题 “已知函数f(x)满足f(x)=x3+f′()x2-x+C [其中f′()为f(x)在点x=处的导数,C为常数]。(1)求f′()的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g...” 主要考查您对

导数的概念及其几何意义

函数的单调性与导数的关系

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  • 导数的概念及其几何意义
  • 函数的单调性与导数的关系

平均变化率:

一般地,对于函数y =f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可用式表示,我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,习惯上用表示,即平均变化率
  
上式中的值可正可负,但不为0.f(x)为常数函数时, 

瞬时速度:
如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内,当时平均速度的极限,即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t,d)为当d趋于0时的极限.

函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义

一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作,即

导函数:

如果函数y =f(x)在开区间(a,6)内的每一点都可导,则称在(a,b)内的值x为自变量,以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx)在(a,b)内的导函数,简称为f(x)在(a,b)内的导数,记作f′(x)或y′.即f′(x)=

切线及导数的几何意义:

(1)切线:PPn为曲线f(x)的割线,当点Pn(xn,f(xn))(n∈N)沿曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=


瞬时速度特别提醒:

①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值.
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度,再对平均速度取极限,

 函数y=f(x)在x=x0处的导数特别提醒:

①当时,比值的极限存在,则f(x)在点x0处可导;若的极限不存在,则f(x)在点x0处不可导或无导数.
②自变量的增量可以为正,也可以为负,还可以时正时负,但.而函数的增量可正可负,也可以为0.
③在点x=x0处的导数的定义可变形为:
    

导函数的特点:

①导数的定义可变形为:
②可导的偶函数其导函数是奇函数,而可导的奇函数的导函数是偶函数,
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数,
④并不是所有函数都有导函数.
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域(a,b),且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值.
⑥区间一般指开区间,因为在其端点处不一定有增量(右端点无增量,左端点无减量).

导数的几何意义(即切线的斜率与方程)特别提醒

①利用导数求曲线的切线方程.求出y=f(x)在x0处的导数f′(x);利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)(x- x0).
②若函数在x= x0处可导,则图象在(x0,f(x0))处一定有切线,但若函数在x= x0处不可导,则图象在(x0,f(x0))处也可能有切线,即若曲线y =f(x)在点(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直.
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线,前者P点为切点;后者P点不一定为切点,P点可以是切点也可以不是,一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点,
④显然f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角;f′(x0)<o,切线与x轴正向的夹角为钝角;f(x0) =0,切线与x轴平行;f′(x0)不存在,切线与y轴平行.


导数和函数的单调性的关系:

(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。


利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:

①确定f(x)的定义域;
②计算导数f′(x);
③求出f′(x)=0的根;
④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。

函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:

若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。 


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