本试题 “已知函数f(x)=ln|x|(x≠0),函数g(x)=1f′(x)+af'(x)(x≠0)(1)当x≠0时,求函数y=g(x)的表达式;(2)若a>0,函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值...” 主要考查您对函数的单调性、最值
导数的运算
定积分的简单应用
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单调性的定义:
1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间
3、最值的定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值
判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:
(1)定义法:其步骤是:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2)或作商 ,并变形;
③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较 与1的大小;
④根据定义作出结论。
(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
常见函数的导数:
(1)C′=0 ;(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)
导数的四则运算:
(1)和差:
(2)积:
(3)商:
复合函数的导数:
运算法则复合函数导数的运算法则为:
复合函数的求导的方法和步骤:
(1)分清复合函数的复合关系,选好中间变量;
(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数,注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数;
(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,并把中间变量换成自变量的函数。
求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节,然后应用法则,由外向里一层层求导,注意不要漏层。
定积分的简单应用:
1、求几何图形的面积:在直角坐标系中,由曲线f(x),直线x=a,x=b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积,当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的取值为正值;当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的取值为负值;当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲线梯形面积时,定积分的值为0.
2、变速运动问题:如果变速运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≥0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为如果变速运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)
(v(t)≤0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为。
求定积分的方法:
方法1:用定义求定积分的一般步骤:
(1)分割:n等分区间[a,b];
(2)近似代替:取点ξi∈[xi-1,xi];
(3)求和:
(4)取极限:
方法2:用所求定积分表示的几何意义求积分
当定积分表示的面积容易求时,则利用定积分的几何意义求积分.
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