本试题 “已知二次函数f(x)=ax2+x,(a∈R)。(1)当0<a<时,f(sinx)(x∈R)的最大值为,求f(x)的最小值;(2)对于任意的x∈R,总有|f(sinxcosx)|≤1。试求a...” 主要考查您对二次函数的性质及应用
绝对值不等式
比较法
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
二次函数的定义:
一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像:
是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:①有开口方向,a表示开口方向;a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
②有对称轴;
③有顶点;
④c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)。
性质:二次函数y=ax2+bx+c,
①当a>0时,函数f(x)的图象开口向上,在(-∞,-)上是减函数,在[-,+∞)上是增函数;
②当a<0时,函数f(x)的图象开口向下,在(-∞,-)上是增函数,在[-,+∞)是减函数。
二次函数(a,b,c是常数,a≠0)的图像:
图像 | 函数的性质 | ||
a>0 | 定义域 | x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定) | |
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值域 | a>0 | a<0 |
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奇偶性 | b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数 | ||
a<0 | 单调性 | a>0 | a<0 |
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图像特点 |
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二次函数的解析式:
(1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为 ;
(3)双根式:若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。
二次函数在闭区间上的最值的求法:
(1)二次函数 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下,需要分三种情况讨论解决.
当a>0时,f(x)在区间[p,g]上的最大值为M,最小值为m,令 .
①
②
③
④
特别提醒:在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论.
(2)二次函数在区间[m.n]上的最值问题一般地,有以下结论:
特别提醒:max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用:
(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
理解题意;建立数学模型;解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。
绝对值不等式:
当a>0时,有;
或x<-a 。
比较法分类:
(1)求差比较法:要证a>b,只要证a-b>0;
(2)求商比较法:要证a>b,且b>0,只要证>1;
比较法的步骤是:
作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论。
实数比较大小的依据:
在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出a、b之间具有以下性质:如图,如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b是负数,那么a<b;如果a-b等于零,那么a=b,反之也成立,从而a-b>0等价于a>b;a-b=0等价于a=b;a-b<0等价于a<b.
比较数(式)的大小常用的方法:
(1)一是利用作差法来判断差的符号;二是利用作商法(分母为正时)来判断商与1的大小。这两种方法的关键是变形,常用的变形的技巧有因式分解、通分、配方、有理化等,当两个代数式正负不确定且为多项式形式时常用作差法比较大小.当两个代数式均为正且为幂的乘积式时常用作商法比较大小.
(2)比较大小时应熟记并应用“若a>b且ab>0则”这一结论,不能强化也不能弱化条件,在此时应引起特别重视。
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