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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 函数的定义域、值域 分段函数与抽象函数 指数函数的图象与性质 反证法 试题正文
  • 解答题
    若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P。
    （1）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由。
    ①y=ax（a>1）； ②y=x3
    （2）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n>2，n∈N*），求证：对任意i∈ {1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
    （3）在（2）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0，若成立给出证明，若不成立给出反例。
    本题信息：2011年北京模拟题数学解答题难度极难 来源:刘佩
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本试题 “若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P。（1）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由。①y=ax（a>1）； ②y=...” 主要考查您对

函数的定义域、值域

分段函数与抽象函数

指数函数的图象与性质

反证法

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  • 函数的定义域、值域
  • 分段函数与抽象函数
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  • 反证法

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。


1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）


分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 

抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。


知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。


指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质： 

0<a<1 a>1
图像
图像 定义域 R
值域 （0，+∞）
恒过定点 图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1
单调性 在（-∞，+∞）上是减函数 在（-∞，+∞）上是增函数
函数值的变化规律 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1
当x=0时，y=1 当x=0时，y=1
当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1

底数对指数函数的影响：

①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
 
③当a>0，且a≠l时，函数 与函数y=的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小：

 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
 若底数不同而指数相同，用作商法比较；
 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，


指数函数图象的应用：

函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．


反证法的定义：

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

图解：


反证法的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。


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