本试题 “函数f(x)=3x+1的反函数f-1(x)=______.” 主要考查您对指数与指数幂的运算(整数、有理、无理)
幂函数
反函数
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n次方根的定义:
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*。
分数指数幂的意义:
(1);
(2);
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
n次方根的性质:
(1)0的n次方根是0,即=0(n>1,n∈N*);
(2)=a(n∈N*);
(3)当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|。
幂的运算性质:
(1);
(2);
(3);
注意:一般地,无理数指数幂(a>0,α是无理数)是一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理指数幂都适用。
冥函数的定义:
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数。
幂函数的解析式:
y=xα
幂函数的图像:
幂函数图像的性质:
所有幂函数在(0,+∞)上都有定义.
①α>0,图像都过定点(0,0)和(1,1);在区间(0,+∞)上单调递增;
②α<0,图像都过定点(1,1);在区间(0,+∞)上单调递减;
③当O<a<l时,曲线上凸,当a>l时,曲线下凸.
④当a=l时,图象为过点(0,0)和(1,1)的直线.
⑤当a=0时,表示过点(1,1)且平行于x轴的直线(除去点(0,1)) 。
幂函数图象的其他性质:
(1)图象的对称性:
把幂函数的幂指数a(只讨论a是有理数的情况)表示成既约分数的形式(整数看作是分母1的分数),则不论a>0还是a<0,幂函数的图象的对称性用口诀记为:“子奇母偶孤单单;母奇子偶分两边;分子分母均为奇,原点对称莫忘记”,
(2)图象的形状:
①若a>0,则幂函数的图象为抛物线形,当a>l时,图象在[0,+∞)上是向下凸的(称为凸函数);当O<a<l时,图象在[o,+∞)上是向上凸的(称为凹函数).
②若a<0,则幂函数y=x“的图象是双曲线形,图象与x轴、y轴无限接近,在(0,+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性:
对于幂函数(a∈R).
(1)单调性
当a>0时,函数在第一象限内是增函数;当a<0时,函数在第一象限内是减函数.
(2)奇偶性
①当a为整数时,
若a为偶数,则是偶函数;若a为奇数,则是奇函数。
②当n为分数,即(p,q互素,p,q∈Z)时,若分母q为奇数,则分子p为奇数时,为奇函数;分子p为偶数时,为偶函数, 若分母q为偶数,则为非奇非偶函数.
定义:
设式子y=f(x)表示y是x的函数,定义域为A,值域为C,从式子y=f(x)中解出x,得到式子x=(y),如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x=(y)就表示y是x的函数,这样的函数叫做y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),即x=(y)=f-1(y),一般对调x=f-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f-1(x)。
反函数的一些性质:
(1)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,称为互调性;
(2)定义域上的单调函数必有反函数,且单调性相同(即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同),对连续函数而言,只有单调函数才有反函数,但非连续的非单调函数也可能有反函数;
(3)函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,但要注意:函数y=f(x)的图象与其反函数x=(y)=f-1(y)的图象相同。(对称性)
(4)设y=f(x)与y=g(x)互为反函数,如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上,那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
(5)函数y=f(x)的反函数是y=f-1(x),函数y=f-1(x )的反函数是y=f(x),称为互反性,但要特别注意;
(6)函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象的交点,当它们是递增时,交点在直线y=x上。当它们递减时,交点可以不在直线y=x上,
如与互为反函数且有一个交点是,它不再直线y=x上。
(7)还原性:。
求反函数的步骤:
(1)将y=f(x)看成方程,解出x=f-1(y);
(2)将x,y互换得y =f-1(x);
(3)写出反函数的定义域(可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定);
另外:分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。
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