本试题 “设m∈{1,2,3,4},n∈{-12,-8,-4,-2},则函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点的概率是( )A.12B.916C.1116D.1316” 主要考查您对函数零点的判定定理
函数的单调性与导数的关系
随机事件及其概率
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函数零点存在性定理:
一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<o,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是f(x)=0的根.特别提醒:(1)根据该定理,能确定f(x)在(a,b)内有零点,但零点不一定唯一.
(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,也可以说不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)上没有零点,例如,函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点.
(3)若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则fx)在(a,b)上有唯一的零点.
函数零点个数的判断方法:
(1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
特别提醒:①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程x2-2x +1 =0在[0,2]上有两个等根,而函数f(x)=x2-2x +1在[0,2]上只有一个零点
②函数的零点是实数而不是数轴上的点.
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
导数和函数的单调性的关系:
(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。
利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:
①确定f(x)的定义域;
②计算导数f′(x);
③求出f′(x)=0的根;
④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。
随机事件的定义:
在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件,随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。
必然事件的定义:
必然会发生的事件叫做必然事件;
不可能事件:
肯定不会发生的事件叫做不可能事件;
概率的定义:
在大量进行重复试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
m,n的意义:事件A在n次试验中发生了m次。
因0≤m≤n,所以,0≤P(A)≤1,必然事件的概率为1,不可能发生的事件的概率0。
随机事件概率的定义:
对于给定的随机事件A,随着试验次数的增加,事件A发生的频率总是接近于区间[0,1]中的某个常数,我们就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
频率的稳定性:
即大量重复试验时,任何结果(事件)出现的频率尽管是随机的,却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这个常数的偏差大的可能性越小,这一常数就成为该事件的概率;
“频率”和“概率”这两个概念的区别是:
频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程度,它反映的是随机事件出现的可能性;概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性。
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