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    (理)已知函数f(x)=x2+bsinx-2,(b∈R),且对任意x∈R,有f(-x)=f(x).
    (I)求b.
    (II)已知g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围.
    (III)讨论函数h(x)=ln(1+x2)-
    1
    2
    f(x)-k的零点个数?
    本题信息:数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “(理)已知函数f(x)=x2+bsinx-2,(b∈R),且对任意x∈R,有f(-x)=f(x).(I)求b.(II)已知g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上为单调函数...” 主要考查您对

函数的奇偶性、周期性

分段函数与抽象函数

函数的单调性与导数的关系

函数的极值与导数的关系

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  • 函数的奇偶性、周期性
  • 分段函数与抽象函数
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函数的奇偶性定义:

偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。 
 
函数的周期性

(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
(2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。


奇函数与偶函数性质:

(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。

注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.


1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.

2、函数的周期性    令a , b 均不为零,若: 
(1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
(2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
(3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
(4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
(5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|


分段函数:

1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。 

抽象函数

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。


知识点拨:

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。


导数和函数的单调性的关系:

(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。


利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:

①确定f(x)的定义域;
②计算导数f′(x);
③求出f′(x)=0的根;
④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。

函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:

若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。 


极值的定义:

(1)极大值: 一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点;
(2)极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点。

极值的性质:

(1)极值是一个局部概念,由定义知道,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小;
(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个;
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。


判别f(x0)是极大、极小值的方法:

若x0满足,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点, 是极值,并且如果在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值。

求函数f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f(x)在这个根处无极值。

对函数极值概念的理解:

极值是一个新的概念,它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念,在理解极值概念时要注意以下几点:
①按定义,极值点x0是区间[a,b]内部的点,不会是端点a,b(因为在端点不可导).如图

②极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小,如图.
  
③若fx)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
④若函数f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有
限个极值点时,函数f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的,
⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,不可导的点也可能是极值点,也可能不是极值点,
   


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