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    已知数列a1,a2,…a30,其中a1,a2,…a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…a30是公差为d2的等差数列(d≠0).
    (1)若a20=40,求d;
    (2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围;
    (3)续写已知数列,使得a30,a31,…a40是公差为d3的等差数列,…,依此类推,把已知数列推广为无穷数列.试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求当公差d>0时a10(n+1)的取值范围.
    本题信息:数学解答题难度一般 来源:未知
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本试题 “已知数列a1,a2,…a30,其中a1,a2,…a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…a30是公差为d2的等差数列(d≠0)....” 主要考查您对

等差数列的定义及性质

合情推理

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 等差数列的定义及性质
  • 合情推理

等差数列的定义:

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,用符号语言表示为an+1-an=d。


等差数列的性质:

(1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列;
(2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和;
(3)m,n∈N*,则am=an+(m-n)d;
(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则as+at=ap+aq,其中as,at,ap,aq是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有as+at=2ap
(5)若数列{an},{bn}均是等差数列,则数列{man+kbn}仍为等差数列,其中m,k均为常数。
(6)
(7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即
(8) 仍为等差数列,公差为


 


对等差数列定义的理解:

①如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或某一项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或某项开始是等差数列. 
②求公差d时,因为d是这个数列的后一项与前一项的差,故有 还有
③公差d∈R,当d=0时,数列为常数列(也是等差数列);当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列;
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据;
⑤证明一个数列是等差数列,只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法:

(1)学会运用函数与方程思想解题;
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键;
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’).


归纳推理的定义:

根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳)。归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理;

类比推理的定义:

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫做类比推理(简称类比)。类比推理是由特殊到特殊的推理。


类比推理的一般步骤:

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3)一般地,事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的,而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似,那么它们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的;
(4)在一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题就越可靠。

归纳推理的一般步骤:

①通过观察个别情况发现某些相同性质;
②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).

归纳推理和类比推理的特点:

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,统称为合情推理。

归纳推理的应用方法:

归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,要注意探求的对象的本质属性与因果关系.与数列有关的问题,要联想等差、等比数列,把握住数的变化规律.

类比推理的应用方法:

合情推理的正确与否来源于平时知识的积累,如平面到空间、长度到面积、面积到体积、平面中的点与空间中的直线、平面中的直线与空间巾的平面.