本试题 “四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,AB=(-1,2,1),AD=(0,-2,3),AP═(8,3,2),(1)求证:PA⊥底面ABCD;(2)求PC的长.” 主要考查您对点到直线、平面的距离
直线与平面间的距离
用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
点到直线的距离:
由点向直线引垂线,这一点到垂足之间的距离。
点到平面的距离:
由点向平面引垂线,这点到垂足之间的距离,就叫做点到平面的距离。
求点面距离常用的方法:
(1)直接利用定义
①找到(或作出)表示距离的线段;
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
(2)利用两平面互相垂直的性质如果已知点在已知平面的垂面上,则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.
(3)体积法其步骤是:①在平面内选取适当三点和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S;③由求出.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离,难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
(4)转化法:将点到平面的距离转化为直线与平面的距离来求.
(5)向量法:
直线和平面间的距离:
直线与平面相交时,直线与平面的距离为0;
直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离都相等(直线与平面的距离即为直线上的点到平面的距离)。
求直线与平面的距离的方法:
转化为点到直线的距离,即在直线上选一个合适的点,求这个点到平面的距离。
用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系:
设直线l,m的方向向量为a,b,平面α,β的法向量为u,v,则
(1)线线平行l∥m a∥b a=kb;
(2)线面平行l∥α a⊥u a·u=0;
(3)线面垂直l⊥α a∥u a=ku;
(4)面面平行α∥β u∥v u=kv;
(5)面面垂直α⊥β u⊥v u·v=0。
证明平行的其他方法:
①根据线面平行的判定定理:(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量;
②根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
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