向量的数乘的定义：

我们规定实数λ与向量的积是一个向量，记作λ；

向量的数乘的长度和方向规定如下：

（1）；
（2）当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，；注意：λ≠0

数乘运算的坐标表示：

设，则。

实数与向量积的运算律：

（1）；
（2）；
（3）。

向量数乘运算的理解：

①向量数乘运算结果仍然是向量．
②实数与向量的积的特殊情况：
 
③实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如无意义。
④由向量数乘的概念可知其几何意义，可以把向量a的长度扩大（当时），也可以缩小（当时），同时，我们可以不改变向量a的方向，也可以改变向量a的方向（当λ<0时）。

两个向量数量积的含义：

如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。
叫在上的投影。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

数量积的的运算律：

已知向量和实数λ，下面（1）（2）（3）分别叫做交换律，数乘结合律，分配律。
（1）；
（2）；
（3）。

向量数量积的性质：

设两个非零向量
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）当，同向时，；当与反向时，；当为锐角时，为正且，不同向，；当为钝角时，为负且，不反向，。