平均变化率:

一般地，对于函数y =f(x)，x_1,x₂是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率
  
上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时， 

瞬时速度:
如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．

函数y=f（x）在x=x₀处的导数的定义：

一般地，函数y=f（x）在x=x₀处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x₀处的导数，记作或，即。

导函数：

如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=

切线及导数的几何意义：

（1）切线：PP_n为曲线f（x）的割线，当点P_n（x_n，f（x_n））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x₀，f（x₀））时，割线PP_n趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
（2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x₀处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。

瞬时速度特别提醒：

①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，

 函数y=f（x）在x=x₀处的导数特别提醒：

①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x₀处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x₀处不可导或无导数．
②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．
③在点x=x₀处的导数的定义可变形为:
    

导函数的特点：

①导数的定义可变形为：
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x₀处的函数值即为函数f(x)在点x₀处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．

导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：

①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x₀处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y₀ =f′(x₀)（x- x₀）．
②若函数在x= x₀处可导，则图象在(x₀，f(x₀))处一定有切线，但若函数在x= x₀处不可导，则图象在（x₀，f(x₀））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x₀，f(x₀))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
④显然f′（x₀）>0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x₀）<o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x₀) =0，切线与x轴平行；f′(x₀)不存在，切线与y轴平行．

函数的最大值和最小值：

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

利用导数求函数的最值步骤：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。

 用导数的方法求最值特别提醒：

①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；
②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；
③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。 

生活中的优化问题：

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，
不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．

用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：

(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；
(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．

利用导数解决生活中的优化问题：

 (1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．
 (2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，
  ①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；
  ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
  (3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．

基本不等式：

（当且仅当a＝b时取“=”号）；
变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
②；③；④；

对基本不等式的理解：

(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有
(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即

对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：
如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，；
（2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，；
（3）已知x²+y²=p，则x+y有最大值为，。

应用基本的不等式解题时：

注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。

利用基本不等式比较实数大小：

(1)注意均值不等式的前提条件．
(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式．
(3)注意“1”的代换．
(4)灵活变换基本不等式的形式，并注重其变形形式的运用．重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是等，不仅要掌握原来的形式，还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用．
(5)合理配组，反复应用均值不等式。 

基本不等式的几种变形公式：