本试题 “已知数列{an}的前项和为Sn,且满足a1=,(4n-1)an=3×4n-1Sn,n∈N*,设bn=,Tn为数列{bn}的前n项和。(1)求Sn;(2)求Tn的值;(3)求证:Tn<。” 主要考查您对等比数列的通项公式
数列的极限
数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
等比数列的通项公式:
an=a1qn-1,q≠0,n∈N*。
等比数列的通项公式的理解:
①在已知a1和q的前提下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项;
②在已知等比数列中任意两项的前提下,使用可求等比数列中任何一项;
③用函数的观点看等比数列的通项,等比数列{an}的通项公式,可以改写为.当q>o,且q≠1时,y=qx是一个指数函数,而是一个不为0的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点;
④通项公式亦可用以下方法推导出来:
将以上(n一1)个等式相乘,便可得到
⑤用方程的观点看通项公式.在an,q,a1,n中,知三求一。
数列的极限定义(描述性的):
如果当项数n无限增大时,无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a(即无限地接近于0),a叫数列的极限,记作,也可记做当n→+∞时,an→a。
数列的极限严格定义:
即ε-N定义:对于任何正数ε(不论它多么小),总存在某正数N,使得当n>N时,一切an都满足,a叫数列的极限。
数列极限的四则运算法则:
若,则
(1),;
(2),;
(3)。
前提条件:(1)各数列均有极限,(2)相加减时必须是有限个数列才能用法则。
an无限接近于a的方式有三种:
第一种是递增的数列,an无限接近于a,即an是在常数a的左边无限地趋近于a,如n→+∞时,;
第二种是递减数列,an无限地趋近于a,即an是在常数a的右边无限地趋近于a,如n→+∞时,是;
第三种是摆动数列,an无限地趋近于a,即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a,如n→+∞时,。
一些常用数列的极限:
(1)常数列A,A,A,…的极限是A;
(2)当时,;
(3)当|q|<1时,;当q>1时,不存在;
(4)不存在,。
(5)无穷等比数列{an}中,首项a1,公比q,前n项和Sn,各项之和S,则(只有在0<|q|<1时)。
数列求和的常用方法:
1.裂项相加法:数列中的项形如的形式,可以把表示为,累加时抵消中间的许多项,从而求得数列的和;
2、错位相减法:源于等比数列前n项和公式的推导,对于形如的数列,其中为等差数列,为等比数列,均可用此法;
3、倒序相加法:此方法源于等差数列前n项和公式的推导,目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取,以便化简后求和。
4、分组转化法:把数列的每一项分成两项,或把数列的项“集”在一块重新组合,或把整个数列分成两个部分,使其转化为等差或等比数列,这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和:所给数列的通项是关于n的多项式,此时求和可采用公式求和,常用的公式有:
数列求和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒:
(1)对通项公式含有的一类数列,在求时,要注意讨论n的奇偶性;
(2)在用等比数列前n项和公式时,一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
与“已知数列{an}的前项和为Sn,且满足a1=,(4n-1)an=3×4n-1Sn...”考查相似的试题有: