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    已知函数f(x)=
    x+a
    +a|x|,a为实数.
    (1)当a=1,x∈[-1,1]时,求函数f(x)的值域;
    (2)设m、n是两个实数,满足m<n,若函数f(x)的单调减区间为(m,n),且n-m≤
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    ,求a的取值范围.
    本题信息:2011年江苏二模数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “已知函数f(x)=x+a+a|x|,a为实数.(1)当a=1,x∈[-1,1]时,求函数f(x)的值域;(2)设m、n是两个实数,满足m<n,若函数f(x)的单调减区间为(m,n)...” 主要考查您对

函数的定义域、值域

函数的单调性、最值

二次函数的性质及应用

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  • 函数的定义域、值域
  • 函数的单调性、最值
  • 二次函数的性质及应用

定义域、值域的概念:

自变量取值范围叫做函数的定义域,函数值的集合叫做函数的值域。


1、求函数定义域的常用方法有:

(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零等;
(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围;
(3)根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围;
(4)复合函数的定义域:如果y是u的函数,而u是x的函数,即y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫做中间变量,设f(x)的定义域是x∈M,g(x)的定义域是x∈N,求y=f[g(x)]的定义域时,则只需求满足 的x的集合。设y=f[g(x)]的定义域为P,则  。

 3、求函数值域的方法:

(1)利用一些常见函数的单调性和值域,如一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,三角函数,形如 (a,b为非零常数)的函数;
(2)利用函数的图象即数形结合的方法;
(3)利用均值不等式;
(4)利用判别式;
(5)利用换元法(如三角换元);
(6)分离法:分离常数与分离参数两种形式;
(7)利用复合函数的单调性。(注:二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系,含字母时要注意讨论)


单调性的定义:

1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间 
 
3、最值的定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值


判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法

(1)定义法:其步骤是:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2)或作商 ,并变形;
③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较 与1的大小;
④根据定义作出结论。
(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。


二次函数的定义:

一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像

是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:①有开口方向,a表示开口方向;a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
②有对称轴
③有顶点
④c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)。

性质:二次函数y=ax2+bx+c,

①当a>0时,函数f(x)的图象开口向上,在(-∞,-)上是减函数,在[-,+∞)上是增函数;
②当a<0时,函数f(x)的图象开口向下,在(-∞,-)上是增函数,在[-,+∞)是减函数。


二次函数(a,b,c是常数,a≠0)的图像:

图像 函数的性质
a>0 定义域 x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定)
 
值域 a>0 a<0
 
奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数
a<0 单调性 a>0 a<0
图像特点

二次函数的解析式:

(1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为 ;
(3)双根式:若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为


二次函数在闭区间上的最值的求法:

(1)二次函数 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下,需要分三种情况讨论解决.
当a>0时,f(x)在区间[p,g]上的最大值为M,最小值为m,令 .
 



特别提醒:在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论.

(2)二次函数在区间[m.n]上的最值问题一般地,有以下结论:
 
特别提醒:max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用

(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
理解题意;建立数学模型;解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。