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首页 高中数学知识 等比数列的定义及性质 等比数列的通项公式 等差数列的前n项和 试题正文
  • 解答题
    已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n，在数列{bn}中，b1=8且64bn+1-bn=0，是否存在常数c，使对任意的正整数n，an+logcbn恒为常数m，若存在，求常数c和m的值，若不存在，说明理由．
    本题信息：数学解答题难度一般 来源:未知
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本试题 “已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n，在数列{bn}中，b1=8且64bn+1-bn=0，是否存在常数c，使对任意的正整数n，an+logcbn恒为常数m，若存在，求常数c和m的值，若...” 主要考查您对

等比数列的定义及性质

等比数列的通项公式

等差数列的前n项和

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  • 等比数列的定义及性质
  • 等比数列的通项公式
  • 等差数列的前n项和

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。


等比数列的性质：

在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。


等差数列和等比数列的比较：
 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。


等比数列的通项公式:

an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。


等比数列的通项公式的理解：

①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{an}的通项公式，可以改写为．当q>o，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；
④通项公式亦可用以下方法推导出来：

将以上（n一1）个等式相乘，便可得到
 
⑤用方程的观点看通项公式．在an，q，a1，n中，知三求一。


等差数列的前n项和的公式：

（1），（2），（3），（4）
当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。


等差数列的前n项和的有关性质：

（1），…成等差数列；
（2）｛an｝有2k项时，＝kd；
（3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平， S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a平；


解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）；
(2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q＝0，此时公差d＜0。 
 


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