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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 函数零点的判定定理 数列的概念及简单表示法 数学归纳法证明不等式 试题正文
  • 解答题
    已知函数f (x) =x3，g (x)=x+。
    （Ⅰ）求函数h (x)=f (x)-g (x)的零点个数，并说明理由；
    （Ⅱ）设数列{an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f(an+1)=g(an)，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M。
    本题信息：2011年湖南省高考真题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “已知函数f (x) =x3，g (x)=x+。（Ⅰ）求函数h (x)=f (x)-g (x)的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列{an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f(an+1)=g(an)，证明：存在...” 主要考查您对

函数零点的判定定理

数列的概念及简单表示法

数学归纳法证明不等式

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  • 函数零点的判定定理
  • 数列的概念及简单表示法
  • 数学归纳法证明不等式

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．
 (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.


函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．


数列的定义：

一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。


从函数角度看数列：

数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒：
①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题；
②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．


归纳法的定义：

由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，称为归纳法。


数学归纳法证明不等式的步骤：

（1）证明当n取初始值n0（例如n0=0，n0=1等）时不等式成立；
（2）假设当n=k（k为自然数，k≥n0）时不等式成立，证明当n=k+1时不等式也成立。

对数学归纳法的理解：

（1）数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确。
（2）运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．


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