已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．（1）若f(x)=-x2+asinx，在[π2，π]（[π2，π]⊆D）上的最大,高中,数学试题,函数的单调性、最值考点,函数的最值与导数的关系考点,绝对值不等式考点,好技网

解答题
已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．
（1）若f(x)=-
x
2
+asinx，在[
π
2
，π]（[
π
2
，π]⊆D）上的最大值为
1-π
4
，试求不等式|ax+1|＜a的解集．
（2）若对于定义域中任意的x₁，x₂，存在正数ε，使|x₁-1|＜
ε
2
且|x₂-1|＜
ε
2
，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜ε．

本题信息：数学解答题难度较难来源:未知
本题答案
查看答案

本试题 “已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．（1）若f(x)=-x2+asinx，在[π2，π]（[π2，π]⊆D）上的最大值为1-π4，试求不等式|ax+1|＜a的解集．（2）...” 主要考查您对
函数的单调性、最值

函数的最值与导数的关系

绝对值不等式
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。

函数的单调性、最值
函数的最值与导数的关系
绝对值不等式

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间

3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

函数的最大值和最小值：

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

利用导数求函数的最值步骤：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。

用导数的方法求最值特别提醒：

①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；
②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；
③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。

生活中的优化问题：

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，
不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．

用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：

(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；
(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．

利用导数解决生活中的优化问题：

(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．
(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，
①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．

绝对值不等式：

当a>0时，有；
或x＜-a 。

绝对值不等式的解法：

(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法去绝对值符号求解，也可以用图象法求解。

发现相似题

与“已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．（1）...”考查相似的试题有：