本试题 “在图(1)所示的长方形ABCD中,AD=2AB=2,E、F分别为AD、BC的中点,M、N两点分别在AF和CE上运动,且AM=EN=a(0<a<2).把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A...” 主要考查您对柱体、椎体、台体的表面积与体积
异面直线所成的角
直线与平面平行的判定与性质
用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
侧面积和全面积的定义:
(1)侧面积的定义:把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开,所得到的展开图的面积,就是空间几何体的侧面积.
(2)全面积的定义:空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积,
柱体、锥体、台体的表面积公式(c为底面周长,h为高,h′为斜高,l为母线)
柱体、锥体、台体的体积公式:
多面体的侧面积与体积:
多面体 | 图像 | 侧面积 | 体积 |
棱柱 |
|
直棱柱的侧面展开图是矩形 |
|
棱锥 |
|
正棱柱的侧面展开图是一些全等的等腰三角形, |
|
棱台 |
|
正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形, |
|
旋转体的侧面积和体积:
旋转体 | 图形 | 侧面积与全面积 | 体积 |
圆柱 |
|
圆柱的侧面展开图的矩形: |
|
圆锥 |
|
圆锥的侧面展开图是扇形: |
|
圆台 |
|
圆台的侧面展开图是扇环: |
|
球 |
|
|
|
异面直线所成角的定义:
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b,则把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角,如下图。
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。
在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关。
求异面直线所成角的步骤:
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。
B、证明作出的角即为所求角;
C、利用三角形来求角。
特别提醒:
(1)两异面直线所成的角与点O(两直线平移后的交点)的选取无关.
(2)两异面直线所成角θ的取值范围是00<θ≤900.
(3)判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不过点B的直线是异面直线;②反证法:证明两直线共面不可能.
线线角的求法:
(1)定义法:用“平移转化”,使之成为两相交直线所成的角,当异面直线垂直时,应用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为900.
(2)向量法:设两条直线所成的角为θ(锐角),直线l1和l2的方向向量分别为
线面平行的定义:
若直线和平面无公共点,则称直线和平面平行。
线面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言:
线面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
符号语言:
证明直线与平面平行的常用方法:
(l)反证法,即
(2)判定定理法,即
(3)面面平行的性质定理,即
(4)向量法,平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直,则直线与平面平行,即
异面直线所成角:
,
(其中为异面直线a,b所成角,分别表示异面直线a,b的方向向量)。
直线AB与平面所成角:
(为平面α的法向量);
二面角的平面角:
或(,为平面α,β的法向量)。
用向量求异面直线所成角注意:
①求异面直线所成的角常用平移法或向量法,特别是向量法,由于降低了空间想象的要求,所以需引起我们的重视,用向量法时,需注意两异面直线夹角的范围是
②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但二者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.
求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法,也可选择空间向量的向量法:
①求直线和平面所成角的步骤:作出斜线与其射影所成的角;证明所作的角就是要求的角;常在直角三角形(垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)中解出所求角的大小:
②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径:一是直接求其中OP′,为斜线OP在平面α内的射影;二是通过求进而转化求解,其中n为平面α的法向量。
用向量求二面角注意:
①当法向量的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角θ的大小等于法向量的夹角的大小;
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角θ的大小等于法向量的夹角的补角的大小.
求二面角,大致有两种基本方法:
(1)传统立体几何的综合推理法:①定义法;②垂面法;③三垂线定理法;④射影面积法.
(2)空间向量的坐标法:建系并确定点及向量的坐标,分别求出两个平面的法向量,通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.
与“在图(1)所示的长方形ABCD中,AD=2AB=2,E、F分别为AD、BC的...”考查相似的试题有: