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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 函数的最值与导数的关系 直线的方程 两点间的距离 试题正文
  • 解答题
    在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如下图所示）。将矩形折叠，使A点落在线段DC上，
    （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
    （Ⅱ）求折痕的长的最大值。


    本题信息：2005年广东省高考真题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如下图所示）。将矩形折叠，使A点落在线段DC上，...” 主要考查您对

函数的最值与导数的关系

直线的方程

两点间的距离

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  • 函数的最值与导数的关系
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函数的最大值和最小值：

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。


利用导数求函数的最值步骤：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。

 用导数的方法求最值特别提醒：

①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；
②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；
③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。 


生活中的优化问题：

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，
不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．

用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：

(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；
(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．

利用导数解决生活中的优化问题：

 (1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．
 (2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，
  ①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；
  ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
  (3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．


直线方程的定义：

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

基本的思想和方法：

求直线方程是解析几何常见的问题之一，恰当选择方程的形式是每一步，然后釆用待定系数法确定方程，在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。

直线方程的几种形式：

1.点斜式方程：
（1），（直线l过点，且斜率为k）。
（2）当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
2.斜截式方程：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线的方程为：y=kx+b，它不包括垂直于x轴的直线。
3.两点式方程：已知直线经过（x1，y1），（x2，y2）两点，则直线方程为：
4.截距式方程：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为：（a、b≠0）。
5.一般式方程：（1）定义：任何直线均可写成：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的形式。（2）特殊的方程如：平行于x轴的直线：y=b（b为常数）；平行于y轴的直线：x=a（a为常数）。


几种特殊位置的直线方程：

 
求直线方程的一般方法:
 
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法，一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．
(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定点,可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．

两点间的距离公式：

设，是平面直角坐标系中的两个点，则。
特别地，原点O（0,0）与任意一点P（x,y）的距离为


两点间的距离公式的理解：

（1）在公式中，的位置是对称的，没有先后之分，即间的距离也可表示为
（2）


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