用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系：

设直线l，m的方向向量为a，b，平面α，β的法向量为u，v，则
（1）线线平行l∥m a∥b a=kb；
（2）线面平行l∥α a⊥u a·u=0；
（3）线面垂直l⊥α a∥u a=ku；
（4）面面平行α∥β u∥v u=kv；
（5）面面垂直α⊥β u⊥v u·v=0。

证明平行的其他方法：

①根据线面平行的判定定理：（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量；
②根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．

异面直线所成角： 

，
（其中为异面直线a，b所成角，分别表示异面直线a，b的方向向量）。

直线AB与平面所成角：

（为平面α的法向量）；

二面角的平面角：

或（，为平面α，β的法向量）。

用向量求异面直线所成角注意：

①求异面直线所成的角常用平移法或向量法，特别是向量法，由于降低了空间想象的要求，所以需引起我们的重视，用向量法时，需注意两异面直线夹角的范围是
②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．

求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法，也可选择空间向量的向量法：

①求直线和平面所成角的步骤：作出斜线与其射影所成的角；证明所作的角就是要求的角；常在直角三角形（垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）中解出所求角的大小：
②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径：一是直接求其中OP′，为斜线OP在平面α内的射影；二是通过求进而转化求解，其中n为平面α的法向量。

用向量求二面角注意：

①当法向量的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的大小；
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的补角的大小．

求二面角，大致有两种基本方法：

(1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法．
(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小．