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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 函数的极值与导数的关系 用坐标表示向量的数量积 动点的轨迹方程 试题正文
  • 解答题
    设函数f（x）=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值。xOy平面上点A、B的坐标分别为（x1，f（x1））、（x2，f（x2）），该平面上动点P满足，点Q是点P关于直线y=2（x-4）的对称点，
    求(Ⅰ)点A、B的坐标；
    (Ⅱ)动点Q的轨迹方程。
    本题信息：2006年广东省高考真题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “设函数f（x）=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值。xOy平面上点A、B的坐标分别为（x1，f（x1））、（x2，f（x2）），该平面上动点P满足，点Q是点P关于...” 主要考查您对

函数的极值与导数的关系

用坐标表示向量的数量积

动点的轨迹方程

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  • 函数的极值与导数的关系
  • 用坐标表示向量的数量积
  • 动点的轨迹方程

极值的定义：

（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。

极值的性质：

（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。


判别f（x0）是极大、极小值的方法：

若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。

求函数f（x）的极值的步骤：

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）=0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。

对函数极值概念的理解：

极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：
①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图

②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．
  
③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，
   


两个向量的数量积的坐标运算:

非零向量，那么，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。


向量的数量积的推广1：

设a=(x,y)，则|a|=x2+y2 ，或|a|=

向量的数量积的推广2：

设，则
 
向量的数量积的坐标表示的证明：
 
已知 ，则
 

 动点的轨迹方程：

 在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。


求动点的轨迹方程的基本方法：

直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。
1、直接法：
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；
用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
2、定义法：
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；
3、相关点法：
动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。
4、参数法：
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。
5、交轨法：
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

求轨迹方程的步骤：

(l)建系，设点建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x，y）；
(2)写集合写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)}；
(3)列式用坐标表示P(M)，列出方程f(x，y)=0；
(4)化简化方程f(x，y)=0为最简形式；
(5)证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 


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