平均变化率:

一般地，对于函数y =f(x)，x_1,x₂是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率
  
上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时， 

瞬时速度:
如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．

函数y=f（x）在x=x₀处的导数的定义：

一般地，函数y=f（x）在x=x₀处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x₀处的导数，记作或，即。

导函数：

如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=

切线及导数的几何意义：

（1）切线：PP_n为曲线f（x）的割线，当点P_n（x_n，f（x_n））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x₀，f（x₀））时，割线PP_n趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
（2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x₀处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。

瞬时速度特别提醒：

①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，

 函数y=f（x）在x=x₀处的导数特别提醒：

①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x₀处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x₀处不可导或无导数．
②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．
③在点x=x₀处的导数的定义可变形为:
    

导函数的特点：

①导数的定义可变形为：
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x₀处的函数值即为函数f(x)在点x₀处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．

导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：

①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x₀处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y₀ =f′(x₀)（x- x₀）．
②若函数在x= x₀处可导，则图象在(x₀，f(x₀))处一定有切线，但若函数在x= x₀处不可导，则图象在（x₀，f(x₀））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x₀，f(x₀))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
④显然f′（x₀）>0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x₀）<o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x₀) =0，切线与x轴平行；f′(x₀)不存在，切线与y轴平行．

极值的定义：

（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有的点，都有f（x）＜f（x₀），就说f（x₀）是函数f（x）的一个极大值，记作y_极大值=f（x₀），x₀是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有的点，都有f（x）＞f（x₀），就说f（x₀）是函数f（x）的一个极小值，记作y_极小值=f（x₀），x₀是极小值点。

极值的性质：

（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

判别f（x₀）是极大、极小值的方法：

若x₀满足，且在x₀的两侧f（x）的导数异号，则x₀是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x₀两侧满足“左正右负”，则x₀是f（x）的极大值点，f（x₀）是极大值；如果在x₀两侧满足“左负右正”，则x₀是f（x）的极小值点，f（x₀）是极小值。

求函数f（x）的极值的步骤：

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）=0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。

对函数极值概念的理解：

极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：
①按定义，极值点x₀是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图

②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．
  
③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，