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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 函数的单调性、最值 一般数列的通项公式 反证法与放缩法 试题正文
  • 解答题

    设数列{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1，2，3，…）。
    （1）求{an}的通项公式；
    （2）设f（x）=xln（1+），试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
    （3）设bn=，证明：ln2≤bn＜ln3。


    本题信息：2011年模拟题数学解答题难度极难 来源:刘佩
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本试题 “设数列{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1，2，3，…）。（1）求{an}的通项公式；（2）设f（x）=xln（1+），试判断f（x）在（0，+∞...” 主要考查您对

函数的单调性、最值

一般数列的通项公式

反证法与放缩法

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  • 函数的单调性、最值
  • 一般数列的通项公式
  • 反证法与放缩法

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值


判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。


一般数列的定义：

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么这个公式叫做这个数列的通项公式。


通项公式的求法：

（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；
（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；
（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
已知递推公式求通项常见方法：
①已知a1=a,an+1=qan+b,求an时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使an+1 +λ=q(an+λ)进而得到λ。
②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n≥2),求an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法。
③已知a1=a,an=f(n)an-1(n≥2)，求an时，利用累乘法求解。


反证法的定义：

有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明，我们可以用间接的方法——反证法去证明，即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。

放缩法的定义：

把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式，比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。


反证法证题的步骤：

若A成立，求证B成立。
共分三步：
（1）提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数；
（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错）；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

放缩法的意义：

放缩法理论依据是不等式的传递性：若,a<b,b<c，则a<c.

放缩法的操作：

若求证P<Q，先证P<P1<P2<…<Pn,再证恰有Pn<Q.
需注意：（1）只有同方向才可以放缩，反方向不可。
（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的Pn<Q.


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