设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn,高中三年级,数学试题,等比数列的通项公式考点,等差数列的前n项和考点,反证法考点,好技网

解答题
设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列（如：在a₁与a₂之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d₂，…以此类推），设第n个等差数列的和是A_n．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

本题信息：2012年安徽省模拟题数学解答题难度极难来源:沈诺（高中数学）
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本试题 “设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列（如：在a1与a2之间插入...” 主要考查您对
等比数列的通项公式

等差数列的前n项和

反证法
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等比数列的通项公式
等差数列的前n项和
反证法

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式，可以改写为．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；
④通项公式亦可用以下方法推导出来：

将以上（n一1）个等式相乘，便可得到

⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。

等差数列的前n项和的公式：

（1），（2），（3），（4）
当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1），…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大，S_p+q＝0，此时公差d＜0。

反证法的定义：

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

图解：

反证法的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

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