本试题 “在下列五个函数中,①y=2x,②y=log2x,③y=x2,④y=x-1,⑤y=cos2x,当0<x1<x2<1 时,使f()>恒成立的函数是( )。(将正确序号都填上)” 主要考查您对二次函数的性质及应用
指数函数的图象与性质
对数函数的图象与性质
幂函数
正弦、余弦函数的图象与性质(定义域、值域、单调性、奇偶性等)
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
二次函数的定义:
一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像:
是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:①有开口方向,a表示开口方向;a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
②有对称轴;
③有顶点;
④c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)。
性质:二次函数y=ax2+bx+c,
①当a>0时,函数f(x)的图象开口向上,在(-∞,-)上是减函数,在[-,+∞)上是增函数;
②当a<0时,函数f(x)的图象开口向下,在(-∞,-)上是增函数,在[-,+∞)是减函数。
二次函数(a,b,c是常数,a≠0)的图像:
图像 | 函数的性质 | ||
a>0 | 定义域 | x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定) | |
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值域 | a>0 | a<0 |
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奇偶性 | b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数 | ||
a<0 | 单调性 | a>0 | a<0 |
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图像特点 |
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二次函数的解析式:
(1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为 ;
(3)双根式:若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。
二次函数在闭区间上的最值的求法:
(1)二次函数 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下,需要分三种情况讨论解决.
当a>0时,f(x)在区间[p,g]上的最大值为M,最小值为m,令 .
①
②
③
④
特别提醒:在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论.
(2)二次函数在区间[m.n]上的最值问题一般地,有以下结论:
特别提醒:max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用:
(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
理解题意;建立数学模型;解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质:
0<a<1 | a>1 | ||
图像 | |||
图像 | 定义域 | R | |
值域 | (0,+∞) | ||
恒过定点 | 图像恒过定点(0,1),即当x等于0时,y=1 | ||
单调性 | 在(-∞,+∞)上是减函数 | 在(-∞,+∞)上是增函数 | |
函数值的变化规律 | 当x<0时,y>1 | 当x<0时,0<y<1 | |
当x=0时,y=1 | 当x=0时,y=1 | ||
当x>0时,0<y<1 | 当x>0时,y>1 |
底数对指数函数的影响:
①在同一坐标系内分别作函数的图象,易看出:当a>l时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近y轴;同样地,当0<a<l时,底数越小,函数图象在第一象限越靠近x轴.
②底数对函数值的影响如图.
③当a>0,且a≠l时,函数 与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小:
若底数相同而指数不同,用指数函数的单调性比较:
若底数不同而指数相同,用作商法比较;
若底数、指数均不同,借助中间量,同时要注意结合图象及特殊值,
指数函数图象的应用:
函数的图象是直观地表示函数的一种方法.函数的很多性质,可以从图象上一览无余.数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象.利用指数函数的图象,可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题.
对数函数的图形:
对数函数的图象与性质:
对数函数与指数函数的对比:
(1)对数函数与指数函数互为反函数,它们的定义域、值域互换,图象关于直线y=x对称.
(2)它们都是单调函数,都不具有奇偶性.当a>l时,它们是增函数;当O<a<l时,它们是减函数.
(3)指数函数与对数函数的联系与区别:
对数函数单调性的讨论:
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键:一是看底数是否大于l,当底数未明确给出时,则应对底数a是否大于1进行讨论;二是运用复合法来判断其单调性,但应注意中间变量的取值范围;三要注意其定义域(这是一个隐形陷阱),也就是要坚持“定义域优先”的原则.
利用对数函数的图象解题:
涉及对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象人手,通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象,特别地,要注意底数a>l与O<a<l的两种不同情况,
底数对函数值大小的影响:
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象,如图所示,可以看出:当a>l时,底数越大,图象越靠近x轴,同理,当O<a<l时,底数越小,函数图象越靠近x轴.利用这一规律,我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题.
2.类似地,在同一坐标系中分别作出的图象,如图所示,它们的图象在第一象限的规律是:直线x=l把第一象限分成两个区域,每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小,比如分别对应函数,则必有
冥函数的定义:
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数。
幂函数的解析式:
y=xα
幂函数的图像:
幂函数图像的性质:
所有幂函数在(0,+∞)上都有定义.
①α>0,图像都过定点(0,0)和(1,1);在区间(0,+∞)上单调递增;
②α<0,图像都过定点(1,1);在区间(0,+∞)上单调递减;
③当O<a<l时,曲线上凸,当a>l时,曲线下凸.
④当a=l时,图象为过点(0,0)和(1,1)的直线.
⑤当a=0时,表示过点(1,1)且平行于x轴的直线(除去点(0,1)) 。
幂函数图象的其他性质:
(1)图象的对称性:
把幂函数的幂指数a(只讨论a是有理数的情况)表示成既约分数的形式(整数看作是分母1的分数),则不论a>0还是a<0,幂函数的图象的对称性用口诀记为:“子奇母偶孤单单;母奇子偶分两边;分子分母均为奇,原点对称莫忘记”,
(2)图象的形状:
①若a>0,则幂函数的图象为抛物线形,当a>l时,图象在[0,+∞)上是向下凸的(称为凸函数);当O<a<l时,图象在[o,+∞)上是向上凸的(称为凹函数).
②若a<0,则幂函数y=x“的图象是双曲线形,图象与x轴、y轴无限接近,在(0,+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性:
对于幂函数(a∈R).
(1)单调性
当a>0时,函数在第一象限内是增函数;当a<0时,函数在第一象限内是减函数.
(2)奇偶性
①当a为整数时,
若a为偶数,则是偶函数;若a为奇数,则是奇函数。
②当n为分数,即(p,q互素,p,q∈Z)时,若分母q为奇数,则分子p为奇数时,为奇函数;分子p为偶数时,为偶函数, 若分母q为偶数,则为非奇非偶函数.
正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线,
1.正弦函数
2.余弦函数
函数图像的性质
正弦、余弦函数图象的性质:
由上表知,正弦与余弦函数的定义域都是R,值域都是[-1,1],对y=sinx,当时,y取最大值1,
当时,y取最小值-1;对y=cosx,当x=2kπ(k∈Z)时,y取最大值1,当x=2kπ+π(k∈Z)时,y取最小值-1。
正弦、余弦函数图象的性质:
由上表知,正弦与余弦函数的定义域都是R,值域都是[-1,1],对y=sinx,当时,y取最大值1,
当时,y取最小值-1;对y=cosx,当x=2kπ(k∈Z)时,y取最大值1,当x=2kπ+π(k∈Z)时,y取最小值-1。
与“在下列五个函数中,①y=2x,②y=log2x,③y=x2,④y=x-1,⑤y=cos2...”考查相似的试题有: