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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 数列的极限 一般数列的通项公式 数学归纳法证明不等式 试题正文
  • 解答题
    已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+，n=1，2，…。
    （1）已知数列{an}极限存在且大于零，求A=（将A用a表示）；
    （2）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：；
    （3）若|bn|≤对n=1，2，…都成立，求a的取值范围。
    本题信息：2004年湖北省高考真题数学解答题难度极难 来源:刘佩
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本试题 “已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+，n=1，2，…。（1）已知数列{an}极限存在且大于零，求A=（将A用a表示）；（2）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：；（3）若|b...” 主要考查您对

数列的极限

一般数列的通项公式

数学归纳法证明不等式

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数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a（即无限地接近于0），a叫数列的极限，记作，也可记做当n→+∞时，an→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足，a叫数列的极限。

数列极限的四则运算法则：

若，则
（1），；
（2），；
（3）。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。


an无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，；
第二种是递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是；
第三种是摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，。


一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当时，；
（3）当|q|＜1时，；当q＞1时，不存在；
（4）不存在，。
（5）无穷等比数列{an}中，首项a1，公比q，前n项和Sn，各项之和S，则（只有在0＜|q|＜1时）。


一般数列的定义：

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么这个公式叫做这个数列的通项公式。


通项公式的求法：

（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；
（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；
（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
已知递推公式求通项常见方法：
①已知a1=a,an+1=qan+b,求an时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使an+1 +λ=q(an+λ)进而得到λ。
②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n≥2),求an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法。
③已知a1=a,an=f(n)an-1(n≥2)，求an时，利用累乘法求解。


归纳法的定义：

由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，称为归纳法。


数学归纳法证明不等式的步骤：

（1）证明当n取初始值n0（例如n0=0，n0=1等）时不等式成立；
（2）假设当n=k（k为自然数，k≥n0）时不等式成立，证明当n=k+1时不等式也成立。

对数学归纳法的理解：

（1）数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确。
（2）运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．


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