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高中三年级数学

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    已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数,
    (Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
    (Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。
    本题信息:2012年模拟题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数,(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m...” 主要考查您对

集合的含义及表示

二次函数的性质及应用

函数的单调性与导数的关系

一元二次方程及其应用

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  • 集合的含义及表示
  • 二次函数的性质及应用
  • 函数的单调性与导数的关系
  • 一元二次方程及其应用

集合的概念:

1、集合:一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合(简称集); 集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、……。
      元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素,元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、……
2、元素与集合的关系: 
(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A 
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同,可把集合分为如下几类:
(1)把不含任何元素的集合叫做空集Ф
(2)含有有限个元素的集合叫做有限集
(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集

常用数集及其表示方法: 

(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合.记作N 
(2)正整数集:非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ 
(3)整数集:全体整数的集合.记作Z 
(4)有理数集:全体有理数的集合.记作Q 
(5)实数集:全体实数的集合.记作R 


集合中元素的特性:

(1)确定性:给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合,要么不属于该集合,二者必具其一。
(2)互异性:集合中的元素一定是不同的. 
(3)无序性:集合中的元素没有固定的顺序.


易错点:
(1)自然数集包括数0.         
(2)非负整数集内排除0的集.记作N*或N+,Q、Z、R等其它数集内排除0的集,也这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z


二次函数的定义:

一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像

是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:①有开口方向,a表示开口方向;a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
②有对称轴
③有顶点
④c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)。

性质:二次函数y=ax2+bx+c,

①当a>0时,函数f(x)的图象开口向上,在(-∞,-)上是减函数,在[-,+∞)上是增函数;
②当a<0时,函数f(x)的图象开口向下,在(-∞,-)上是增函数,在[-,+∞)是减函数。


二次函数(a,b,c是常数,a≠0)的图像:

图像 函数的性质
a>0 定义域 x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定)
 
值域 a>0 a<0
 
奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数
a<0 单调性 a>0 a<0
图像特点

二次函数的解析式:

(1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为 ;
(3)双根式:若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为


二次函数在闭区间上的最值的求法:

(1)二次函数 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下,需要分三种情况讨论解决.
当a>0时,f(x)在区间[p,g]上的最大值为M,最小值为m,令 .
 



特别提醒:在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论.

(2)二次函数在区间[m.n]上的最值问题一般地,有以下结论:
 
特别提醒:max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用

(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
理解题意;建立数学模型;解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。


导数和函数的单调性的关系:

(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。


利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:

①确定f(x)的定义域;
②计算导数f′(x);
③求出f′(x)=0的根;
④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。

函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:

若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。 


一元二次方程的定义:

含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式:



一元二次方程的应用:

建立一元二次方程模型进行求解,把得到的答案带回实际问题中检验是否合理,来解决实际问题,如打折、营销、增长率问题等。

一元二次方程的根与系数的关系:

如果方程的两个实数根是,那么