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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 二次函数的性质及应用 等差数列的定义及性质 一般数列的项 反证法 试题正文
  • 解答题
    数列{an}满足a1=1，an+1=（n2+n-λ）an（n=1，2，…），λ是常数。
    （1）当a2=-1时，求λ及a3的值；
    （2）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
    （3）求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n＞m时总有an＜0。
    本题信息：2008年北京高考真题数学解答题难度极难 来源:刘佩
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本试题 “数列{an}满足a1=1，an+1=（n2+n-λ）an（n=1，2，…），λ是常数。（1）当a2=-1时，求λ及a3的值；（2）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；...” 主要考查您对

二次函数的性质及应用

等差数列的定义及性质

一般数列的项

反证法

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  • 二次函数的性质及应用
  • 等差数列的定义及性质
  • 一般数列的项
  • 反证法

二次函数的定义：

一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴；
③有顶点；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax2+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。


二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：

图像 函数的性质
a>0 定义域 x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)
 
值域 a>0 a<0
 
奇偶性 b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数
a<0 单调性 a>0 a<0
图像特点

二次函数的解析式：

（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。


二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令 ．
① 
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。


等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。


等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8） 仍为等差数列，公差为


 


对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．


一般数列的项的定义：

数列中的每一个数叫做这个数列的项。


数列项的性质：

①数列的项具有有序性，一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，注意与集合中元素的无序性区分开来，；
②数列的项具有可重复性，数列中的数可重复出现，这也要与集合中元素的互异性区分开来：
③注意an与{an}的区别：an表示数列{an}的第n 项，而{an}表示数列a1，a2，…，an，…，


方法提炼：

1.数列最大项、最小项、数列有界性问题可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用（1）作差法；（2）作差法；（3）结合函数图像等方法；
2.若求最大项an,则an满足an≥an+1且an≥an-1；若求最小项an,则an满足an≤an+1且an≤an-1。


反证法的定义：

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

图解：


反证法的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。


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