函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．
 (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．

导数和函数的单调性的关系：

（1）若f′（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。

利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：

①确定f（x）的定义域；
②计算导数f′（x）；
③求出f′（x）=0的根；
④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）>0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）<0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。

函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：

若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）>0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。 

综合法：

利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立，这种证明方法叫综合法，即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。

分析法：

（1）从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，即执果索因；
（2）用分析法证明要注意格式：“若A成立，则B成立”的模式是：欲证B为真，只需证C为真，只需证D为真…最后得出A或已知的性质、公理、定理，从而得出B为真。也可使用简化叙述。即BCD…A或已知的性质、公理、定理。切不可使用BCD…A。

用综合法分析法证明不等式常用到的结论：

 

 

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