定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f^-1（y），即x=（y）＝f^-1（y），一般对调x=f^-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f^-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=（y）＝f^-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），函数y=f^-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如与互为反函数且有一个交点是，它不再直线y=x上。
（7）还原性：。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f^-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f^-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。

函数的最大值和最小值：

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

利用导数求函数的最值步骤：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。

 用导数的方法求最值特别提醒：

①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；
②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；
③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。 

生活中的优化问题：

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，
不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．

用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：

(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；
(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．

利用导数解决生活中的优化问题：

 (1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．
 (2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，
  ①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；
  ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
  (3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。