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高中三年级数学

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    如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于AB两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q。



    (1)若,求c的值;
    (2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;
    (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。
    本题信息:2007年江苏高考真题数学解答题难度较难 来源:刘佩
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本试题 “如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于AB两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q...” 主要考查您对

四种命题及其相互关系

导数的概念及其几何意义

线段的定比分点

用坐标表示向量的数量积

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  • 四种命题及其相互关系
  • 导数的概念及其几何意义
  • 线段的定比分点
  • 用坐标表示向量的数量积

1、四种命题:

一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用分别表示p和q的否定,
四种命题的形式是:
(1)原命题:若p则q;
(2)逆命题:若q则p;
(3)否命题:若
(4)逆否命题:若

2、四种命题的真假关系:

一个命题与它的逆否命题是等价的,其逆命题与它的否命题也是等价的;

3、四种命题的相互关系:



注意:

1、区别“否命题”与“命题的否定”,若原命题是“若p则q”,则这个命题的否定是“若p则非q”,而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假,即“等价”


平均变化率:

一般地,对于函数y =f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可用式表示,我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,习惯上用表示,即平均变化率
  
上式中的值可正可负,但不为0.f(x)为常数函数时, 

瞬时速度:
如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内,当时平均速度的极限,即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t,d)为当d趋于0时的极限.

函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义

一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作,即

导函数:

如果函数y =f(x)在开区间(a,6)内的每一点都可导,则称在(a,b)内的值x为自变量,以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx)在(a,b)内的导函数,简称为f(x)在(a,b)内的导数,记作f′(x)或y′.即f′(x)=

切线及导数的几何意义:

(1)切线:PPn为曲线f(x)的割线,当点Pn(xn,f(xn))(n∈N)沿曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=


瞬时速度特别提醒:

①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值.
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度,再对平均速度取极限,

 函数y=f(x)在x=x0处的导数特别提醒:

①当时,比值的极限存在,则f(x)在点x0处可导;若的极限不存在,则f(x)在点x0处不可导或无导数.
②自变量的增量可以为正,也可以为负,还可以时正时负,但.而函数的增量可正可负,也可以为0.
③在点x=x0处的导数的定义可变形为:
    

导函数的特点:

①导数的定义可变形为:
②可导的偶函数其导函数是奇函数,而可导的奇函数的导函数是偶函数,
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数,
④并不是所有函数都有导函数.
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域(a,b),且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值.
⑥区间一般指开区间,因为在其端点处不一定有增量(右端点无增量,左端点无减量).

导数的几何意义(即切线的斜率与方程)特别提醒

①利用导数求曲线的切线方程.求出y=f(x)在x0处的导数f′(x);利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)(x- x0).
②若函数在x= x0处可导,则图象在(x0,f(x0))处一定有切线,但若函数在x= x0处不可导,则图象在(x0,f(x0))处也可能有切线,即若曲线y =f(x)在点(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直.
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线,前者P点为切点;后者P点不一定为切点,P点可以是切点也可以不是,一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点,
④显然f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角;f′(x0)<o,切线与x轴正向的夹角为钝角;f(x0) =0,切线与x轴平行;f′(x0)不存在,切线与y轴平行.


线段的定比分点定义:

设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点,若存在一个实数λ,使P1P=λPP2,λ叫做点P分有向线段所成的比,P点叫做有向线段 的以定比为λ的定比分点。
当P点在线段 P1P2上时,λ>0;当P点在线段 P1P2的延长线上时,λ<-1;当P点在线段P2P1的延长线上时 -1<λ<0。
若点P分有向线段所成的比为λ,则点P分有向线段所成的比为

有向线段的定比分点的坐标公式:

(1)设
在使用定比分点的坐标公式时,应明确(x,y),(x1,y1),(x2,y2)的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。一般在计算中应根据题设,自行确定起点,分点和终点并根据这些点确定对应的定比λ。
(2)当λ=1时,就得到P1P2的中点公式:
(3)三角形ABC的重心公式:设,则重心


两个向量的数量积的坐标运算:

非零向量,那么,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。


向量的数量积的推广1:

a=(x,y),则|a|=x2+y2 ,或|a|=

向量的数量积的推广2:

,则
 
向量的数量积的坐标表示的证明:
 
已知 ,则