本试题 “已知实数a≥,函数y=ex-ax是区间[-ln3,0)上的增函数,设函数f(x)=ax3-x,,(Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式;(Ⅱ)求证:当x>0时,;(Ⅲ)设,其中n∈N* ,问数列{a...” 主要考查您对函数解析式的求解及其常用方法
函数的单调性与导数的关系
一般数列的项
综合法与分析法证明不等式
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函数解析式的常用求解方法:
(1)待定系数法:(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等):若已知f(x)的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得f(x)的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
(2)换元法(注意新元的取值范围):已知f(g(x))的表达式,欲求f(x),我们常设t=g(x),从而求得,然后代入f(g(x))的表达式,从而得到f(t)的表达式,即为f(x)的表达式。
(3)配凑法(整体代换法):若已知f(g(x))的表达式,欲求f(x)的表达式,用换元法有困难时,(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体,把右边变为由g(x)组成的式子,再换元求出f(x)的式子。
(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等):若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。
(5)赋值法(特殊值代入法):在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。
导数和函数的单调性的关系:
(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。
利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:
①确定f(x)的定义域;
②计算导数f′(x);
③求出f′(x)=0的根;
④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。
一般数列的项的定义:
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列项的性质:
①数列的项具有有序性,一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,注意与集合中元素的无序性区分开来,;
②数列的项具有可重复性,数列中的数可重复出现,这也要与集合中元素的互异性区分开来:
③注意an与{an}的区别:an表示数列{an}的第n 项,而{an}表示数列a1,a2,…,an,…,
方法提炼:
1.数列最大项、最小项、数列有界性问题可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用(1)作差法;(2)作差法;(3)结合函数图像等方法;
2.若求最大项an,则an满足an≥an+1且an≥an-1;若求最小项an,则an满足an≤an+1且an≤an-1。
综合法:
利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立,这种证明方法叫综合法,即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。
分析法:
(1)从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题,如果能肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立,这种证明方法叫分析法,即执果索因;
(2)用分析法证明要注意格式:“若A成立,则B成立”的模式是:欲证B为真,只需证C为真,只需证D为真…最后得出A或已知的性质、公理、定理,从而得出B为真。也可使用简化叙述。即BCD…A或已知的性质、公理、定理。切不可使用BCD…A。
用综合法分析法证明不等式常用到的结论:
与“已知实数a≥,函数y=ex-ax是区间[-ln3,0)上的增函数,设函数f...”考查相似的试题有: